Александр Песков родился 19 мая 1965 года. Отец – Василий Песков, офицер, участник Великой Отечественной войны. Мать — Александра Васильевна, учительница.
В детстве мечтал о карьере военного летчика, но в возрасте 16 лет после творческой встречи с Игорем Старыгиным решил стать актером. После окончания школы в 1982 году поехал в Москву и успешно прошел конкурс сразу в два театральных вуза – училище имени Щепкина и училище имени Щукина. Выбрал Щепкинское училище, где два года проучился на курсе М.И. Царева и Р.Г. Солнцевой. Будучи студентом второго курса, снялся в одной из главных ролей в фильме Алексея Симонова «Отряд». В 1984 году перевелся в Школу-студию МХАТ (курс В.Н. Богомолова) которую окончил в 1987 году.
С 1987 по 1989 год играл в труппе МХАТа имени Горького, где был занят в спектаклях «Валентин и Валентина», «Прощание с Матерой», «На дне», «И будет день!» и «Синяя птица». С 1989 по 1991 год работал в МХТ имени Чехова, где самой значительной работой стала роль в спектакле «Яма» по повести Куприна.
С 1991 по 1992 год участвовал в постановках Театра-студии на Спартаковской (ныне театр «Модернъ»), а также был задействован в спектаклях «М. Баттерфляй» и «Полонез Огинского» в «Театре Романа Виктюка».
С 1994 по 1995 год сотрудничал с антрепризой «Ангажамент», где исполнял роль Тригорина в чеховской «Чайке». В 1996 году стал актером Театра имени Пушкина, где проработал восемь лет. Играл в спектаклях «Террористы», «Бесы», «Эти свободные бабочки», «Дубровский», «Московские люди», «Разбойники» и других. С 2004 года работает в «Театре Луны».
Много работает в кино. Известность пришла в 1992 году после выхода на экраны боевика «Америкэн бой» (реж. Б. Квашнев), в котором он сыграл роль воина-афганца. После этой картины за ним закрепилась слава «русского Рэмбо», и его стали приглашать на роли «крутых» парней — «Гладиатор по найму» (реж. Д. Зайцев, гл. роль, 1993), «Хаги-траггер» (реж. Э. Уразбаев, гл. роль, 1994), «Поезд до Бруклина» (реж. В. Федосов, гл. роль, 1995), «Мусульманин» (реж. В. Хотиненко, 1995), «Крестоносец» (реж. М. Туманишвили и А. Иншаков,, 1995) и т.д.
Всего сыграл более 90 ролей в фильмах и сериалах, среди которых «Сезон охоты 2», «Марш Турецкого», «Ледниковый период», «Огнеборцы», «Бандитский Петербург» и другие. Лауреат множества премий.
9 мая 2024 года Алексей Песков вместе с актрисой Еленой Грук-Черновой выступил в Донецке — принял участие в уникальном масштабном концерте — Поэтории «Дороги памяти», посвященном 79-й годовщине Победы в Великой Отечественной войне.